Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM．
（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA=PB=PC，则△PMC是______三角形；
（3）若PA：PB：PC=1：：，试判断△PMC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）AP=CM．
∵△ABC、△BPM都是等边三角形，
∴AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°．
∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°．
∴∠ABP=∠CBM．
∴△ABP≌△CBM．
∴AP=CM．

（2）等边三角形．

（3）△PMC是直角三角形．
∵AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：：，
∴CM：PM：PC=1：：．
设CM=k，则PM=k，PC=k，
∴CM²+PM²=PC²
∴△PMC是直角三角形，∠PMC=90°．
分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；
（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形．
（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：：．我们发现这三边正好符合勾股定理的要求．因此三角形PMC是直角三角形．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．