Question

2．已知点A（1，2）、点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，过B作BC⊥x轴于点C，如图，P是y轴上一点
（1）求k的值；
（2）当△PBC为等腰直角三角形时，求点C的坐标；
（3）设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的任意两点，s=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，t=$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，试判断s与t的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=$\frac{k}{x}$即可解决．
（2）分两种情形讨论①当点P为直角顶点，②当点B或点C为直角顶点时，根据等腰三角形的性质设点B坐标，然后列出方程即可解决．
（3）如图设点P是MN中点，作PE⊥x轴于E，交双曲线于点Q，求出P、Q两点坐标，比较P、Q两点的纵坐标即可解决．

解答 解：（1）把点A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$上，得到k=2．
（2）当点P为直角顶点时，可以设点B坐标（m，2m）
则2m²=2，
∵m＞0，
∴m=1，
当点B或点C为直角顶点时，可以设点B坐标（m，m，）
则m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．
（3）如图设点P是MN中点，作PE⊥x轴于E，交双曲线于点Q，
∵点P坐标（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），点Q坐标（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$），
由图象可知：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$＞$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴s＞t．

点评 本题考查反比例函数的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论，借助于函数图象解决问题，属于中考常考题型．