Question

如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，C是圆上一点，连接AC，BC，OA，OB，∠AOE=60°，且OD=4．
（1）求∠ACB的度数．
（2）求AB的长．

Answer 1

解：（1）∵OD⊥AB，
∴弧AE=弧BE，
∴∠AOE=∠BOE，
而∠AOE=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ACB=×120°=60°；

（2）在Rt△OAD中，
OD=4，∠AOE=60°，
∴AD=OD=4，
又∵OD⊥AB，
∴AD=BD，
∴AB=2AD=8．
分析：（1）由OD⊥AB，得弧AE=弧BE，则∠AOE=∠BOE，得到∠ACB=∠AOE=60°；
（2）在Rt△OAD中，OD=4，∠AOE=60°，利用特殊角的三边关系即可得到AD，又OD⊥AB，有AB=2AD，这样就得到AB的长．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系．