Question

18．在直角三角ABC中，∠A为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为$\frac{b+c-a}{2}$（其中a，b，c分别为三角形的三边BC，CA，AB的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC²+AB²=BC²．

Answer 1

分析 设⊙I切BC于F、切AB于D，切AC于E，根据⊙I是△BAC的内切圆得出BD=BF，CF=CE，AD=AE，∠IDA=∠A=∠IEA=90°，求出四边形AEID是正方形，根据正方形的性质得出ID=IE=AD=AE，设△ABC的内切圆的半径为R，求出c-R+b-R=a，即可得出答案．

解答 解：
设⊙I切BC于F、切AB于D，切AC于E，
∵⊙I是△BAC的内切圆，
∴BD=BF，CF=CE，AD=AE，∠IDA=∠A=∠IEA=90°，
∴四边形AEID是正方形，
∴ID=IE=AD=AE，
设△ABC的内切圆的半径为R，
c-R+b-R=a，
解得：R=$\frac{b+c-a}{2}$，
即△ABC的内切圆的半径为$\frac{b+c-a}{2}$．

点评 此题考查了三角形的内切圆，正方形的性质和判定，切线长定理的知识．解题的关键是得出关于R的方程，注意：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．