【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线相交于A(1,),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.
【答案】(1);(2)D(1,0)或(0,)或(0,);(3),M(,).
【解析】
试题分析:(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;
(3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN,可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.
试题解析:
(1)∵A(1,),B(4,0)在抛物线的图象上,∴,解得,∴抛物线解析式为;
(2)存在三个点满足题意,理由如下:
①当点D在x轴上时,如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,∵A(1,),∴D坐标为(1,0);
②当点D在y轴上时,设D(0,d),则,,且,∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形,∴
,即,解得d=,∴D点坐标为(0,)或(0,);
综上可知存在满足条件的D点,其坐标为(1,0)或(0,)或(0,);
(3)如图2,过P作PF⊥CM于点F,∵PM∥OA,∴Rt△ADO∽Rt△MFP,∴=,∴MF=PF,在Rt△ABD中,BD=3,AD=,∴tan∠ABD=,∴∠ABD=60°,设BC=a,则CN=a,在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,∴tan∠PNF=,∴FN=PF,∴MN=MF+FN=PF,∵S△BCN=2S△PMN,∴,∴a=PF,∴NC=a=PF,∴==,∴MN=NC==a,∴MC=MN+NC=()a,∴M点坐标为(4﹣a,()a),又M点在抛物线上,代入可得=()a,解得a=或a=0(舍去),OC=4﹣a=,MC=,∴点M的坐标为(,).
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【题目】小文在甲、乙两家超市发现他看中的篮球的单价相同,书包单价也相同,一个篮球和三个书包的总费用是400元.两个篮球和一个书包的总费用也是400元.
(1)求小文看中的篮球和书包单价各是多少元?
(2)某一天小文上街,恰好赶上商家促销,超市甲所有商品打九折销售,超市乙全场购物满100元返30元购物券(不足100元不返券,购物券全场通用),如果他只能在同一家超市购买他看中的篮球和书包各一个,应选择哪一家超市购买更省钱?并说明理由.
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【题目】甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是:S甲2=2,S乙2=1.5,则射击成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙“).
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【题目】如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证:AEBC=ADAB;
(2)若半圆O的直径为10,sin∠BAC=,求AF的长.
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【题目】某地2015年为做好“精准扶贫”工作,投入资金2000万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年投入资金2880万元,求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率.
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【题目】图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1: ;
方法2: ;
(2)观察图2请你写出下列三个代数式:(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系 ;
(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:,,求:的值;
②已知:,,求:的值.
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【题目】已知函数y=x2+6x+8,使函数值y>0的x的取值范围是( )
A. x<-4且x>-2 B. x<-4或x>-2 C. -4<x<-2 D. x<-4
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