Question

【题目】已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为射线CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED．设∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如图（1），

①若∠BAC=40°，∠DAE=30°，则α=　 　，β=　 　．

②写出α与β的数量关系，并说明理由；

（2）如图（2），当D点在BC边上，E点在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由．

（3）如图（3），D在CB的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出α与β的关系式．

Answer 1

【答案】(1)10°，5°α=2β(2)2β-α=180° (3)2β+α=180°

【解析】

（1）①根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，利用等量代换即可求解；②同样根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，利用等量代换即可求解；（2）设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则∠CAD=180°-y°，根据三角形内角和定理与三角形外角的性质得到α=x°-（180°-y°）=x°-180°-y°，由三角形的内角和得到∠C=，∠AED=，通过整理化简即可得到结论；（3）根据题意作出图形，解法和（2）一致.

（1）①α=∠BAC-∠DAE=40°-30°=10°，

∠AED=（180°-30°）÷2=75°，

∠C=（180°-40°）÷2=70°，

β=∠AED-∠C=5°

②α=2β

设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=-=

∴α=2β

（2）2β-α=180°

设∠BAC=x°，∠DAE=y°，

则∠CAD=180°-y°

∴α=x°-（180°-y°）= x°-180°+y°

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=180°--=

∴2β-α=180°

（3）2β+α=180°

如图3，设∠BAC=x°，∠DAE=y°，

则∠CAD=180°-y°

∴α=180°-x°-y°

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠C=，

∵∠ADE=∠AED，

∴∠AED=

∴β=180°--=

∴2β+α=180°