Question

（2012•天门）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S₁；当AB=2时，△AME的面积记为S₂；当AB=3时，△AME的面积记为S₃；…当AB=n时，△AME的面积记为S_n．当n≥2时，S_n-S_n-1=

2n-1

2

．

Answer 1

分析：方法一：根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出S_n=

1

2

n²，S_n-1=

1

2

（n-1）²=

1

2

n²-n+

1

2

，即可得出答案．
方法二：根据题意得出图象，根据当AB=n时，BC=1，得出S_n=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，得出S与n的关系，进而得出当AB=n-1时，BC=2，S_n-1=

1

2

n²-n+

1

2

，即可得出S_n-S_n-1的值．

解答：解：方法一：连接BE．
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积=△AMB的面积，
∴当AB=n时，△AME的面积记为S_n=

1

2

n²，
S_n-1=

1

2

（n-1）²=

1

2

n²-n+

1

2

，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=

2n-1

2

，
方法二：如图所示：延长CE与NM，交于点Q，
∵线段AC=n+1（其中n为正整数），
∴当AB=n时，BC=1，
∴当△AME的面积记为：
S_n=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=n（n+1）-

1

2

×1×（n+1）-

1

2

×1×（n-1）-

1

2

×n×n，
=

1

2

n²，
当AB=n-1时，BC=2，
∴当△AME的面积记为：
S_n-1=S_矩形ACQN-S_△ACE-S_△MQE-S_△ANM，
=（n+1）（n-1）-

1

2

×2×（n+1）-

1

2

×2×（n-3）-

1

2

×（n-1）（n-1），
=

1

2

n²-n+

1

2

，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=

1

2

n²-（

1

2

n²-n+

1

2

）=n-

1

2

=

2n-1

2

．
故答案为：

2n-1

2

．

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．