Question

【题目】如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．

（1）求B，D两点的坐标；

（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；

（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或，理由见解析

【解析】

（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B（4，4），再由tan∠AOD= 得AD=OA=2，据此可得点D坐标；

（2）由知GF=OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线，即HD∥BE，据此可得答案；
（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∵四边形OABC为正方形，

∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，

∴B（4，4），

在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，

∵tan∠AOD＝，

∴AD＝OA＝×4＝2，

∴D（4，2）；

（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝＝，即GF＝OF，

∵四边形OABC为正方形，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴OF＝EF，

∴GF＝EF，

∴G为EF的中点，

∵GH∥x轴交AE于H，

∴H为AE的中点，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D为AB的中点，

∴DH是△ABE的中位线，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G与对角线OB相切，

如图2，当点E在线段OB上时，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

则x＝2﹣x，

解得：x＝2﹣2，

∴E（8﹣4，8﹣4），

如图3，当点E在线段OB的延长线上时，

x＝x﹣2，

解得：x＝2+，

∴E（8+4，8+4）；

②若⊙G与对角线AC相切，

如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，

EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2，

∴3x﹣2＝2﹣x，

∴，

∴；

如图5，当点E在线段OM上时，

GQ＝PM＝2﹣3x，则2﹣3x＝2﹣x，

解得，

∴；

如图6，当点E在线段OB的延长线上时，

3x﹣2＝x﹣2，

解得：（舍去）；

综上所述，符合条件的点为（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或．