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    如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．
    （1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
    （2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；
    （3）求边C′O′所在直线的解析式．

    【答案】分析：（1）连接BO，BO′则BO=BO′，求出O′，M点坐标，列出方程组求出未知数的值，进而求出二次函数的解析式；
    （2）设存在满足题设条件的点P（x，y）连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴，求出P点坐标和△POM的面积．
    （3）已知O′（2，0），点D的横坐标为1，由相似关系求其纵坐标，用待定系数法求解析式．
    解答：解：（1）连接BO，BO′，则BO=BO′
    ∵BA⊥OO′
    ∴AO=AO′
    ∵B（1，3）
    ∴O′（2，0），M（1，-1），
    ∴，
    解得a=1，b=-2，c=0，
    ∴所求二次函数的解析式为y=x2-2x．

    （2）设存在满足题设条件的点P（x，y），
    连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM=90°
    ∵M（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
    ∴∠MOA=45°
    ∴∠PON=45°，
    ∴|ON|=|NP|即x=y
    ∵P（x，y）在二次函数y=x2-2x的图象上
    ∴x=x2-2x
    解得x=0或x=3
    ∵P（x，y）在对称轴的右支上
    ∴x＞1
    ∴x=3y=3即P（3，3）是所求的点．
    连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形．O′为满足条件的点O′（2，0），
    ∴满足条件的点是P（2，0）或P（3，3），
    ∴OP=3，OM=
    ∴S△POM=OP•OM=3或S△POM=OM•OM′=1；

    （3）设AB与C′O′的交点为D（1，y）
    显然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
    在Rt△ADO′中，AO′2+AD2=O′D2
    即1+y2=（3-y）2
    解得y=
    ∴D（1，），
    设边C'O'所在直线的解析式为y=kx+b则，
    解得k=-，b=，
    ∴所求直线解析式为y=-x+．
    点评：此题很复杂，结合了二次函数，一次函数及图形的几何变换，解答此题的关键是作出辅助线，结合直角三角形及全等三角形的性质解答，难度较大．
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    （1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
    （2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；
    （3）求边C′O′所在直线的解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形A′BC′O′是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点O'，C在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为（-1，3）．
    （1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O、O′两点且图象顶点M的纵坐标为
    -1．求这个二次函数的解析式；
    （2）求边O′A′所在直线的解析式；
    （3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得S△PO′M=3S△CO′D，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2012年广东省广州市荔湾区一中中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．
    （1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
    （2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；
    （3）求边C′O′所在直线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：2007年全国中考数学试题汇编《一次函数》（07）（解析版） 题型：解答题

    （2007•眉山）如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．
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