Question

已知抛物线C₁：y=（x+1）²-4的顶点为P，与x轴的交点为A、B（A左B右），将抛物线C₁关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移．m个单位（m＞l），得到抛物线C₂，抛物线C₂的顶点为Q．

（1）求m=3时，抛物线C₂的解析式；
（2）根据下列条件分别求m：
①如图1，若PQ正好被y轴平分，求m的值；
②如图2，若PQ经过坐标原点，求m的值．
（3）如图3，若抛物线C₂的顶点Q关于直线PA的对称点Q′恰好落在x轴上，试求m的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C₁：y=（x+1）²-4的顶点为P，将抛物线C₁关于x轴作轴对称变换，

∴对称图象解析式为：y=-（x+1）²+4，

∵再将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移．m个单位（m＞l），得到抛物线C₂，m=3，

∴抛物线C₂的解析式为：y=-（x-2）²+7；



（2）①∵Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y轴平分，

∴x_Q+x_P=0，

∴m-1=1，
解得：m=2；

②过点P，Q分别作y轴的垂线，垂足分别为：E，F，

∵∠QFO=∠PEO，∠FOQ=∠POE，
∴△OPE∽△OFQ，

∴==4，

∴OF=4FQ，

∴m+4=4（m-1），
解得：m=；



（3）由P（-1，-4），A（-3，0）设直线PA的解析式为y=ax+b，

，

解得：，

∴直线PA的解析式为：y=-2x-6，

∴直线PA与y轴交点为：（0，-6）．
设Q关于PA的对称点为Q′，

则∠QQ′O=∠AMO，

∴tan∠QQ′O=tan∠AMO===，

过Q作QH⊥x轴于H，

则OH=m-1，QH=m+4，Q′H=2m+8，AH=3+（m-1）=m+2，

∴AQ′=2m+8-（m+2）=m+6，

∴AQ=AQ′=m+6，

在Rt△QAH中，AQ²=AH²+QH²，

∴（m+6）²=（m+2）²+（m+4）²，
解得：m₁=-4（舍去），m₂=4．
分析：（1）根据关于x轴对称的抛物线的解析式a，b，c符号相反，进而根据将变换后的抛物线沿y轴的正方向、x轴的正方向都平移3个单位，求出答案即可；
（2）①根据Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y轴平分，得出x_Q+x_P=0，进而求出即可；
②首先得出△OPE∽△OFQ，进而得出==4，求出即可；
（3）首先求出直线PA的解析式，利用对称性得出tan∠QQ′O=tan∠AMO===，再利用AQ²=AH²+QH²，求出m的值即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理和锐角三角函数关系以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握对称的性质是解题关键．