如图1.△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形.BC.CE为底边．(1)将图1中的△DCE绕C点顺时针方向旋转至∠BCE=∠ACB的位置.分别延长AB.DE交于点F.此时.四边形BCEF为何种四边形?请证明你的结论,(2)如果将图1中的△DCE绕C点顺时针旋转至∠BCE=2∠ACB的位置.连接AD.BE.证明四边形ABED为矩形,的条件下.四边形ABED有无� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图1，△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，BC，CE为底边．
（1）将图1中的△DCE绕C点顺时针方向旋转至∠BCE=∠ACB的位置，分别延长AB，DE交于点F（如图2），此时，四边形BCEF为何种四边形？请证明你的结论；
（2）如果将图1中的△DCE绕C点顺时针旋转至∠BCE=2∠ACB的位置，连接AD，BE（如图3），证明四边形ABED为矩形；
（3）在（2）的条件下，四边形ABED有无可能成为正方形？如果有可能成为正方形，求出∠ABC的度数为多少？

分析（1）由全等得出∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，进而判断出BC∥DE，即可得出∠ABC=∠F，进而得出CE∥AB，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质求出∠ABE=90°，同理：∠BAD=∠ADE=90°，即可得出结论；
（3）由正方形得出AB=AD，进而得出△ACD是等边三角形，即可求出∠ABC=75°．

解答解：（1）四边形BCEF是菱形，
理由：∵△ABC和△DCE是两个全等的等腰三角形，BC，CE为底边．
∴BC=CE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∵∠BCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠DEC，
∴BC∥DE，
∴∠ABC=∠F，
∴∠F=∠DEC，
∴CE∥AB，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵BC=CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；

（2）∵∠ABC=∠ACB，∠BCE=2∠ACB，
∴∠BCE=2∠ABC，
∵BC=CE，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BCE）=$\frac{1}{2}$（180°-2∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
同理：∠BAD=∠ADE=90°，
∴四边形ABED是矩形；

（3）四边形ABED能成为正方形，
∵四边形ABED是正方形，
∴AB=AD，
∵AB=AC=CD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠BCE=2∠ACB，∠ABC=∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCE+∠DCE+∠ACD=360°，
∴∠ABC+2∠ABC+∠ABC=300°，
∴∠ABC=75°，

点评此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质，解（1）的关键是得出BC∥DE，解（2）的关键是判断出∠ABE=90°，解（3）的关键是得出△ACD是等边三角形，是一道中等难度的中考常考题．

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