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    如图1，抛物线y=x2的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD．
    （1）求矩形ABCD的面积；
    （2）如图2，若将抛物线“y=x2”，改为抛物线“y=x2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；
    （3）若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积．（用a、b、c表示，并直接写出答案）
    附加题：若将题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”，“AB=2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件并说明理由．
    （1）设AD=m，
    ∵AB=2AD，
    ∴AB=2m，又抛物线是轴对称图形，
    ∴PD=m．
    ∴点A的坐标为（-m，m），
    ∴m2=m，
    又∵m≠0，
    ∴m=1
    ∴矩形ABCD的面积为1×2=2．

    （2）设抛物线y=x2+bx+c=（x-h）2+n，
    ∴点P的坐标为（h，n），
    设AD=m，
    ∵AB=2AD，
    ∴AB=2m，
    又∵抛物线是轴对称图形，
    ∴PD=m，
    ∴点A的坐标为（h-m，n+m），
    ∴n+m=（h-m-h）2+n，
    ∴m=m2，
    又∵m≠0，
    ∴m=1，
    ∴矩形ABCD的面积为1×2=2．

    （3）
    2
    a2


    附加题：
    AB
    AD
    为常数，
    设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-h）2+n，
    ∴点P的坐标为（h，n），
    设AD=m，
    AB
    AD
    =k，
    ∴AB=km，
    又∵抛物线是轴对称图形，
    ∴PD=
    km
    2

    ∴点A的坐标为（h-
    km
    2
    ，n+m    ），
    ∴n+m=a（h-
    km
    2
    -h）2+n，
    ∴m=
    ak2m2
    4
    ，
    又∵m≠0，
    ∴m=
    4
    ak2
    ，
    ∴矩形ABCD的面积为km2=
    16
    a2k3

    ∵a为常数，
    ∴k为常数时，矩形ABCD的面积为常数，
    即
    AB
    AD
    为常数时，矩形ABCD的面积为常数．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-
    8
    3
    x+8    上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．
    （1）求这个抛物线的解析式；
    （2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；
    （3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=
    1
    100
    x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，俺水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（　　）
    A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在直角坐标系中，抛物线y=
    4
    9
    x2+
    2
    9
    mx+
    5
    9
    m+
    4
    3
    与x轴交于A，B两点，已知点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且BO=2AO，点C为抛物线的顶点．
    （1）求此抛物线的解析式和经过B，C两点的直线的解析式；
    （2）点P在此抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴、直线BC都相切．求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，二次函数的图象是由y=-x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）若点P是抛物线对称轴l上一动点，求使AP+CP最小的点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）
    （1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．
    （2）如图2，当0＜m＜
    1
    2
    时，问m为何值时
    CP
    AP
    =2    ？
    （3）是否存在m，使
    CP
    AP
    =2    ？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
    （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；
    （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
    （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

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