Question

已知二次函数y=x²-2mx+4的图象顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线上有一点D，使直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为

8

5

5

，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=x²-2mx+4的图象顶点A在x轴负半轴上可知：在y=x²-2mx+4=0时，x有且仅有一个实数解，求出此时的m值，解出解析式．
（2）先假设出直线解析式，再根据直线过点B，且原点O到直线DB的距离为

8

5

5

，求出直线解析式，再利用两个函数解析式求出D点坐标．

解答：解：方程x²-2mx+4=0，
x有且仅有一个实数解时有：
（-2m）²-4×4=0，
解得：m=2或者m=-2；
由于交在x轴负半轴上，所以m=2舍去，
所以二次函数解析式为：y=x²+4x+4；

（2）二次函数图象与y轴交于点B，
B点的坐标应该为（0，4），
设直线解析式为：y=kx+4，
原点O到直线DB的距离为

8

5

5

=

4

k2+1

，
解得：k=

1

2

（舍）；k=

-1

2

；
所以直线的解析式为：y=-

1

2

x+4，
他与抛物线交于D、B两点，
联立求解解得D点坐标为（

-9

2

，

25

4

）；
答：D点坐标为（

-9

2

，

25

4

）．

点评：本题属于综合类问题，主要考查了二次函数解析式的求解，以及函数图象的交点问题．