Question

如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S₁，AE，EB，BA围成的图形面积为S₂（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题：
（1）当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S₁=S₂．
（2）①若y是S₁与S₂的和，求y与x之间的函数关系式．（图②为备用图）
②求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质可知△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，即可求出结论．
根据正方形的边长可求出AC的长，过B作BO⊥AC于O，OB即为△ABE的高，设AE=x，YO用含x的关系式表示出S₁、S₂即可求出x的值．
（2）①因为当x=8时，EF重合此时S₁=0，y=S₂故应分0≤x＜8与8≤x≤16两种情况讨论．
②同①分两种情况用含x的代数式表示出y的值，然后根据二次函数的最值即可求出y的最大值．
解答：解：（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，
故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，
所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．（1分）
∵正方形边长为，
∴AC=16．
∵AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=8．
∴S₂=4x（2分）
∵HE=x，EF=16-2x，
∴S₁=x（16-2x）．（3分）
当S₁=S₂时，x（16-2x）=4x．
解得x₁=0（舍去），x₂=6．（4分）
∴当x=6时，S₁=S₂．

（2）①当0≤x＜8时，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．（5分）
当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．（6分）
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．（7分）
②解法1：当0≤x＜8时，y=-2x²+20x=-2（x²-10x+25）+50=-2（x-5）²+50，
∴当x=5时，y的最大值为50．（8分）
当8≤x≤16时，y=-2x²+52x-256=-2（x-13）²+82，
∴当x=13时，y的最大值为82．（9分）
综上可得，y的最大值为82．（10）
解法2：y=-2x²+20x（0≤x＜8），
当x=-=5时，y的最大值为50．（8分）
y=-2x²+52x-256（8≤x≤16），
当x=-=13时，y的最大值为82．（9分）
综上可得，y的最大值为82．（10）

说明：（1）自变量取值含0，8，16或不含均可不扣分．
（2）图②中的草图不正确不扣分．
点评：本题综合考查了正方形的性质及二次函数图象上点的特征，把求面积的最值转化为求二次函数的最值问题，锻炼了同学们对所学知识的综合运用能力．