Question

一次函数y=-2x+4与x，y轴分别交于A，B点，且C是OA的中点，则在y轴上存在（　　）个点D，使得以O，D，C为顶点的三角形与以O，A，B为顶点的三角形相似．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：一次函数综合题,等腰三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：根据一此函数解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB以及OC的长度，再根据相似三角形对应边成比例分①OC与OA是对应边，②OC与OB是对应边两种情况求出OD的长度，再分点D在y轴的正半轴与负半轴两种情况解答．

解答：解：当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
当x=0时，y=4，
∴点A、B的坐标分别是A（2，0），B（0，4），
∵C是OA的中点，
∴点C的坐标是（1，0），
∴OA=2，OB=4，OC=1，
①OC与OA是对应边时，

OA

OC

=

OB

OD

，
即

2

1

=

4

OD

，
解得OD=2，
∴点D的坐标可以是（0，2）（0，-2），
②OC与OB是对应边时，

OB

OC

=

OA

OD

，
即

4

1

=

2

OD

，
解得OD=

1

2

，
∴点D的坐标可以是（0，

1

2

）（0，-

1

2

），
∴存在（0，2）（0，-2）（0，

1

2

）（0，-

1

2

）共4个点D，使得以O，D，C为顶点的三角形与以O，A，B为顶点的三角形相似．
故选D．

点评：本题考查了综合考查了一次函数的知识，相似三角形对应边成比例的性质，根据对应边的不同，注意要分情况进行讨论求解．