Question

21、如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC，
（1）说明△BCD与△CAE全等的理由；
（2）请判断△ADE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先可由等边三角形的性质得知BD和AC垂直，且D点是AC的中点，又∠BCD=60°，再由直角三角形性质不难推出△BDC和△ACE全等．
（2）由（1）的全等三角形得知∠EAC=60°，便可得△ADE为等边三角形．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°（1分）
又∵D为AC中点
∴BD⊥AC，AD=CD（2分）
又∵AE⊥EC
∴∠BDC=∠AEC=Rt∠（3分）
又∵BD=CE
∴Rt△BDC≌Rt△CEA；（4分）

（2）∵Rt△BDC≌Rt△CEA
∴∠EAC=∠ACB=60°，AE=CD（6分）
又∵AD=CD
∴AD=AE（7分）
∴△ADE是等边三角形．（8分）

点评：本题主要考查了等边三角形和直角三角形的性质，能够活学活用是解题的关键．