Question

已知二次函数y=a(x-m)²-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：(1)二次函数和x轴有两个交点，判别式>0即可；
（2）先求出顶点坐标，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB边上高等于1，即可得出a的值.
试题解析：
（1）证明：y=a(x-m)²-2a(x-m)=ax²-(2am+2a)x+am²+2am
当a≠0时,=（2am+2a）²-4a(am²+2am)
∵
∴
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）y=a(x-m)²-2a(x-m)=a(x-m-1)²-a
∴C(m+1,-a)
当y=0时，
解得x₁=m，x₂=m+2.
∴AB=（m+2）-m=2.
当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1．
∴．
∴．