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5.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点,连接DF,分析下列五个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠ACD=$\sqrt{2}$;⑤S四边形CDEF=$\frac{5}{2}{S_{△ABF}}$其中正确的结论有(  )
A.5个B.4个C.3个D.2个

分析 ①四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,则∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB;
②由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,又AD∥BC,所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=2;
③过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论;
④设AE=a,AB=b,则AD=2a,由△BAE∽△ADC,得出b=$\sqrt{2}$a,进而得出tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2a}{b}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$;
⑤根据△AEF∽△CBF得到$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,求出S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△ABF=$\frac{1}{6}$S矩形ABCDS四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S矩形ABCD,即可得到S四边形CDEF=$\frac{5}{2}$S△ABF

解答 解:如图,过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;

∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$,
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$,
∴CF=2AF,故②正确;

∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,
∴DM垂直平分CF,
∴DF=DC,故③正确;

设AE=a,AB=b,则AD=2a,
由△BAE∽△ADC,有$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{b}$,即b=$\sqrt{2}$a,
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2a}{b}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$,故④正确;

∵△AEF∽△CBF,
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$,
∴S△AEF=$\frac{1}{2}$S△ABF,S△ABF=$\frac{1}{6}$S矩形ABCD
∴S△AEF=$\frac{1}{12}$S矩形ABCD
又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD-$\frac{1}{12}$S矩形ABCD=$\frac{5}{12}$S矩形ABCD
∴S四边形CDEF=$\frac{5}{2}$S△ABF,故⑤正确;
故选:A.

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用,正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键.解题时注意:相似三角形的对应边成比例.

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