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已知:如图,以正方形ABCD的边AB为直径作半圆,圆心为O,CG切半圆O于点E,交AD于点F,交BA的延长线于点G.已知AE、BE的长是关于x的方程x2-6x=-2m的两个实数根.

(1)用含m的代数式表示CE的长;

(2)求m的值和EF的长.

答案:
解析:

  解:(见模答图)

  (1)∵四边形ABCD是正方形,

  ∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠DAB=∠D=

  ∵AB是半圆O的直径,

  ∴BC切半圆O于点B.

  ∵CG切半圆O于点E,

  ∴CE=CB=AB.

  ∵AE、BE的长是关于x的方程x2-6x=-2m的两个实数根,

  ∴

  ∴0<m≤

  ∵AB是半圆O的直径,

  ∴∠AEB=

  ∴AB2=AE2+BE2

  =(AE+BE)2-2AE·BE

  =36-4m>0.

  ∴AB=2(0<m≤).

  ∴CE=2(0<m≤).

  (2)连结OC交BE于点H.

  ∵CE、BC是半圆O的切线,

  ∴CE=BC,∠1=∠2.

  ∴OC⊥BE,EH=BH.

  ∴∠BHC=∠AEB=

  在△AEB和△BHC中,

  

  ∴△ABE≌△BCH.

  ∴AE=BH=EH.

  ∵AE+BE=6,

  ∴AE=2,BE=4.

  ∴AB2=AE2+BE2=20.

  ∴36-4m=20.

  ∴m=4且满足0<m≤,符合题意.

  ∴m=4.

  ∵∠DAB=,AB是半圆O的直径,

  ∴AD切半圆O于点A.

  ∵CG切半圆O于点E  CG交AD于点F,

  ∴AF=EF.设AF=EF=k(k>0).

  ∵AD=CD=BC=AB==2

  ∴CE=AB=2

  ∴DF=2-k,CF=2+k.

  ∵CF2=CD2+DF2

  ∵(2+k)2=20+(2-k)2

  解得k=.∴EF=


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