已知:如图,以正方形ABCD的边AB为直径作半圆,圆心为O,CG切半圆O于点E,交AD于点F,交BA的延长线于点G.已知AE、BE的长是关于x的方程x2-6x=-2m的两个实数根.
(1)用含m的代数式表示CE的长;
(2)求m的值和EF的长.
解:(见模答图) (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠DAB=∠D= ∵AB是半圆O的直径, ∴BC切半圆O于点B. ∵CG切半圆O于点E, ∴CE=CB=AB. ∵AE、BE的长是关于x的方程x2-6x=-2m的两个实数根, ∴ ∴0<m≤ ∵AB是半圆O的直径, ∴∠AEB= ∴AB2=AE2+BE2 =(AE+BE)2-2AE·BE =36-4m>0. ∴AB=2 ∴CE=2 (2)连结OC交BE于点H. ∵CE、BC是半圆O的切线, ∴CE=BC,∠1=∠2. ∴OC⊥BE,EH=BH. ∴∠BHC=∠AEB= 在△AEB和△BHC中, ∴△ABE≌△BCH. ∴AE=BH=EH. ∵AE+BE=6, ∴AE=2,BE=4. ∴AB2=AE2+BE2=20. ∴36-4m=20. ∴m=4且满足0<m≤ ∴m=4. ∵∠DAB= ∴AD切半圆O于点A. ∵CG切半圆O于点E CG交AD于点F, ∴AF=EF.设AF=EF=k(k>0). ∵AD=CD=BC=AB= ∴CE=AB=2 ∴DF=2 ∵CF2=CD2+DF2, ∵(2 解得k= |
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