Question

如图，

AC

=

BC

，D，E分别是半径OA，OB的中点，CE的延长线交⊙O于点F．
（1）求证：CD=CE；
（2）若CD=2，CF=5，求半径OA的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接CO，由D与E分别为OA与OB的中点，且OA=OB，得到OD=OE，利用等弧所对的圆心角相等得到一对角相等，再由OC=OC，利用SAS得到三角形DOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长BO交圆O于点G，连接BC，GF，利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由对顶角相等得到三角形CBE与三角形GEF相似，由相似得比例求出BE的长，即可求出OA的长．

解答：证明：（1）连接CO，
∵D，E分别为OA，OB的中点，且OA=OB，
∴OD=OE，
∵

AC

=

BC

，
∴∠AOC=∠BOC，
在△DOC和△EOC中，

OD=OE ∠AOC=∠BOC OC=OC

，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD=CE；
（2）延长BO交圆O于点G，连接BC，GF，
∵∠CBG与∠F为

CG

所对的圆周角，
∴∠CBG=∠F，
∵∠CEB=∠GEF，
∴△CEB∽△GEF，
∴

CE

GE

=

EB

EF

，
∵CE=CD=2，GE=3BE，
∴

2

3BE

=

BE

5-2

，即BE²=2，
∴BE=

2

，
则OA=OB=2

2

．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．