Question

【题目】如图，在ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且，连结．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若CP=CD，AP=2，AD=6时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）证出∠A=90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，

又∠BPC=∠AQP，

∴∠CPQ=∠A，

∵PQ⊥CP，

∴∠A=∠CPQ=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
设AQ=x，则DQ=PQ=6-x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2
∴x2+22=（6-x）2，
解得：x=
∴AQ的长是．