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(2000•上海)如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.
(1)当点P在AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度;
(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

【答案】分析:(1)由题意可知:重心是三角形中线交点,它把中线分为1:2的比例,如果中线长度不变,题中的三线段长度也不变.在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边,也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变;则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度,进而求得GH的长度;
(2)延长PG交OA于C,则y=×PC;分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式;
(3)分别讨论GH=PG,GH=PH,PH=PG这三种情况,根据(2)中的解析式可以分别求得x的值.
解答:解:(1)当然是GH不变.
延长HG交OP于点E,
∵G是△OPH的重心,
∴GH=EH,
∵PO是半径,它是直角三角形OPH的斜边,它的中线等于它的一半;
∴EH=OP
∴GH=OP)=×6)=2;

(2)延长PG交OA于C,则y=×PC.
我们令OC=a=CH,
在Rt△PHC中,PC==
则y=×
在Rt△PHO中,有OP2=x2+(2a)2=62=36,
则a2=9-
将其代入y=×得y=×=(0<x<6);

(3)如果PG=GH,则y=GH=2,
解方程:x=0,
那GP不等于GH,则不合意义;
如果,PH=GH=2则可以解得:x=2;
如果,PH=PG,则x=y代入可以求得:x=
综合上述线段PH的长是或2.
点评:本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质.综合性比较强,有一定的难度.
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