Question

如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，∠MPN=30°，射线PN与⊙O相切于点Q，A、B两点同时从点P出发，点A以2

3

cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

考点：切线的性质,切线的判定

专题：动点型

分析：（1）连结OQ，如图1，根据切线的性质得OQ⊥PQ，在Rt△OQP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到PO=2OQ=12cm，PQ=

3

OQ=6

3

cm；
（2）PA=2

3

t，PB=4t，先计算出

PA

PB

=

3

2

，

PQ

PA

=

3

2

，则

PA

PB

=

PQ

PA

，加上∠P=∠P，于是根据相似的判定方法即可得到△PAB∽△PQO，则∠PAB=∠AQO=90°，所以可判断AB⊥PM，然后分类讨论：当AB与⊙O第一次相切时，如图2，根据切线的性质得OA=6，由于PA=OP-OA=6，2

3

t=6，解得t=

3

（s）；当AB与⊙O第二次相切时，如图3，根据切线的性质得OA=6，由于PA=OP+OA18，2

3

t=18，解得t=3

3

（s）．

解答：解：（1）连结OQ，如图，
∵射线PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OQP中，∵∠OPQ=30°，
∴PO=2OQ=12cm，
PQ=

3

OQ=6

3

cm；
（2）PA=2

3

t，PB=4t，
∵

PA

PB

=

2 3

4

=

3

2

，

PQ

PA

=

6 3

12

=

3

2

，
∴

PA

PB

=

PQ

PA

，
而∠APB=∠QPO，
∴△PAB∽△PQO，
∴∠PAB=∠AQO=90°，
即AB⊥PM，
当AB与⊙O第一次相切时，如图2，则OA=6，
∵PA=OP-OA=12-6=6，
∴2

3

t=6，解得t=

3

（s）；
当AB与⊙O第二次相切时，如图3，则OA=6，
∵PA=OP+OA=12+6=18，
∴2

3

t=18，解得t=3

3

（s）；
即t为

3

s或3

3

s时，直线AB与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质．