Question

【题目】如图1，△ABC～△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，

（1）如图1，求证：△ABD∽△ACE

（2）如图2，当AD⊥BC时，判断四边形ADCE的形状，并证明．

（3）当点D从点B运动到点C时，设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，求CP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形ADCE是矩形，见解析；（3）4

【解析】

（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，再判断出，即可得出结论；

（2）先判断出∠ADB＝90°，根据相似判断出∠AEC＝90°，即可得出结论；

（3）先判断出CP最小时，AD最小，再根据直角三角形的面积的计算方法求出AD的最小值，即可得出结论．

解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵△ABC～△ADE，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

由（1）知△ABD∽△ACE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形；

（3）如图1，

连接CP，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根据勾股定理得，BC＝10，

∵△ABC∽△ADE，

∴，

∴DE＝＝AD＝AD，

由（1）知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABD+∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝90°，

∴CP＝DE，

∵DE＝AD，

∴CP＝×AD＝AD，

要CP最小，则AD最小，

即：当AD⊥BC时，AD最小，

∵S△ABC＝ABAC＝BCAD最小，

∴AD最小＝，

即：CP最小＝AD最小＝×＝4，

即CP的最小值为4．