Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且AB=5．
（1）求点A与点B的坐标和此二次函数的解析式；
（2）如果点M在抛物线上，且，求点M的坐标；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4），
∵AB=5，∴BO=3．∴点B的坐标为（-3，0）．
把点B的坐标（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得．
∴所求二次函数的解析式为；

（2）由，得|M_x|=2，
当x=2时，y=，得；
当x=-2时，y=，得；

（3）因为△ABP是等腰三角形，所以
①当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）．
②当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）．
③当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）．
根据题意，得．
解得．
∴点P的坐标为（，0）．
综上所述，点P的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．
分析：（1）由解析式即可求出点A的坐标，根据AB=5即可求出点B的坐标；
（2）根据，即可求出点M的坐标；
（3）△ABP是等腰三角形，分①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时三种情况讨论．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式及等腰三角形的性质，难度较大，关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数及等腰三角形的性质．