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如图,已知抛物线过A、B、C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),且3AB=4OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的关系式,并求出这个二次函数的最大值.
分析:(1)先得到OA=1,OB=3,则AB=4,再利用3AB=4OC得到OC=3,可得到C点坐标为(0,3);
(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C点坐标代入可求出a的值为-1,则二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,然后利用二次函数的最值问题可确定此二次函数的最大值为4.
解答:解:(1)∵点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),
∴OA=1,OB=3,
∴AB=4,
∵3AB=4OC,
∴OC=3,
∴C点坐标为(0,3);

(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,3)代入得a×1×(-3)=3,
解得a=-1,
∴二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,
∵a=-1<0,
∴当x=-
2
2×(-1)
=1时,y最大值=
4×(-1)×3-22
4×(-1)
=4.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(其中a≠0,x1,x2为抛物线与x轴两交点的横坐标),再把函数图象上第三个点的坐标代入得到关于a的方程组,解方程求出a的值,从而确定二次函数的解析式.也考查了二次函数的最值问题.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)、C(
11
5
,-
12
5
)

(1)求抛物线对应的函数关系式及对称轴;
(2)点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点,证明直线y=-
4
3
(x+1)
必经过点C′.

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精英家教网如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,
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).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有请求出所有符和条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

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如图,已知抛物线过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
(1)求该抛物线的解析式及其顶点的坐标;
(2)若P是抛物线上C、B两点之间的一动点,请连接CP、BP,是否存在点P,使得四边形OBPC的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(6,0),直线AB交抛物线的对称轴于点F,直线AC交抛物线对称轴于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:点E与点F关于顶点D对称;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

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