Question

20．如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F．
（1）求证：DF=EF．
（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a、b满足（a-5）²+b²-6b+9=0，求BF的长．
（3）若△ABC的边长为5，设CD=x，BF=y，求y与x间的关系式．

Answer 1

分析 （1）过D作DM∥AB交BC于M，则△CDM为等边三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易证得△FDM≌△FEB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（a-5）²+b²-6b+9=0，转化为：（a-5）²+（b-3）²=0，然后根据非负数的性质可得：a=5，b=3，即BC=5，CM=3，求出BM=2，由（1）知△DFM≌△EFB，得出FM=FB=$\frac{1}{2}$BM=1即可．
（3）由（1）得△FDM≌△FEB，得到MF=BF=y，易得CM=CD=x，而BC=5，即有x+y+y=5，即可得到y与x间的函数关系式．

解答 （1）证明：过点D作DM∥AE交BC于点M，
∴∠CDM=∠A，∠CMD=∠ABC，
又∵在等边三角形ABC中，∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠CDM=∠CMD=∠C，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
又∵CD=BE，
∴BE=DM，
∵DM∥AE，
∴∠MDF=∠E，
在△DMF和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDF=∠E}&{\;}\\{∠DFM=∠EFB}&{\;}\\{DM=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；
（2）解：∵（a-5）²+b²-6b+9=0，
∴（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴a-5=0，b-3=0，
∴a=5，b=3，
即BC=5，CM=3，
∴BM=2，
∵△DMF≌△EBF，
∴FM=FB=$\frac{1}{2}$BM=1．
（3）解：由（1）得△DMF≌△EBF，
∴BF=MF=y，
由（1）得△CDM是等边三角形，
∴CM=CD=x，
又∵CM+MF+FB=BC=5，
∴2y+x=2，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+1（0＜x＜5）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了三角形全等的判定与性质．也考查了等边三角形的性质以及一次函数几何图形中的应用；本题综合性强，有一定难度．