Question

【题目】如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：

（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，tan∠B= = = ，

过点Q作QE⊥AB于E，

在Rt△BQE中，BQ=5t，

∴sin∠B= = ，

∴QE=4t，

过点Q作QD⊥AC于D，

在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，

∴QD=CQsin∠C= （10﹣5t）=3（2﹣t），

由运动知，AP=3t，CR=4t，

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

∴S△APR= APAR= ×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），

S△BPQ= BPQE= ×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），

S△CQR= CRQD= ×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），

∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，

∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

（2）解：由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），

∵AB=6，AC=8，

∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）

= ×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴当t=1时，S△PQR最小=6；

（3）解：存在，由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，

由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），

∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），

过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，

∴四边形APQD是矩形，

∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，

∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|

∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，

∴∠DQR=∠EQP，

∴tan∠DQR=tan∠EQP，

在Rt△DQR中，tan∠DQR= = ，

在Rt△EQP中，tan∠EQP= = ，

∴ ，

∴16t=9（2﹣t），

∴t= ．

即：t=1或 秒时，∠PQR=90°．

【解析】（1）由面积公式可知求三角形的面积，缺高时，须作垂线补出高，用t的代数式表示△APR，△BPQ，△CQR的面积，在由斜边表示直角边时选用正弦；（2）用△ABC面积减去第（1）问中表示的△APR的面积的3倍，构建二次函数，在0≤t≤2范围内由二次函数的性质可求最值;（3）由点P，Q，R的运动速度知，36=,510=,运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点,可证得四边形APQD是矩形，∠PQR=90°；若∠PQR=90，则∠DQR=∠EQP，用t的代数式表示两个角的正切，建立方程，求出t.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的最值和锐角三角函数的定义，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数即可以解答此题．