Question

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作∠CAD=∠B，且点E在BC的延长线上，CE⊥AD于点E，
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是5，CE=2，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由于BC是⊙O的直径，所以∠BAC=90°，由于∠CAD=∠BAO，所以∠CAD+∠OAC=∠BAO+∠OAC=90°，从而可知AD是⊙O的切线．
（2）证明△BAC∽△AEC，根据相似三角形的性质即可求出AC的长度，然后根据sinB=$\frac{AC}{BC}$即可求出答案．

解答 解：（1）连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵OB=OA，
∴∠B=∠BAO，
∵∠B=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAO，
∴∠CAD+∠OAC=∠BAO+∠OAC=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线，

（2）由题意可知：BC=10，
∵∠B=∠CAE，∠BAC=∠AEC=90°，
∴△BAC∽△AEC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CE}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，解方程等知识，本题属于中等题型．