⊙O为△ABC的外接圆.过圆外一点P作⊙O的切线PA.且PA∥BC．(1)如图1.求证:△ABC为等腰三角形,(2)如图2.在AB边上取一点E.AC边上取一点F.使AE=CF.直线EF交PA于点M.交BC的延长线于点N.求证:ME=FN,条件下.连接OE.OF.若∠EOF=120°.$\frac{AE}{AM}$=$\frac{2}{3}$.FN=$\sqrt{7}$.求⊙O的半径� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．⊙O为△ABC的外接圆，过圆外一点P作⊙O的切线PA，且PA∥BC．
（1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）如图2，在AB边上取一点E，AC边上取一点F，使AE=CF，直线EF交PA于点M，交BC的延长线于点N，求证：ME=FN；
（3）如图3，在（2）条件下，连接OE、OF，若∠EOF=120°，$\frac{AE}{AM}$=$\frac{2}{3}$，FN=$\sqrt{7}$，求⊙O的半径长．

分析（1）连接AO并延长交BC于点D，如图1，根据切线的性质和平行线的性质，可得OD⊥BC，根据垂径定理可得BD=CD，然后根据垂直平分线的性质即可解决问题；
（2）过点F作FK∥AB交BC于点K，如图2，易证FK=CF=AE，进而可证到△AME≌△KNF，即可得到ME=FN；
（3）过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，过点O作OQ⊥AC于点Q，连接OA、OC，如图3．易证△AOE≌△COF，则有∠AOE=∠COF，从而可得∠AOC=∠EOF=120°，根据圆周角定理可得∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，由此可得△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，进而可得∠AEG=30°．设AG=a，即可得到AE=2a，EG=$\sqrt{3}$a，AM=3a，MG=2a，ME=$\sqrt{7}$a，由ME=FN=$\sqrt{7}$可求得a=1，即可得到AM=3．设AH=m，即可得到AF=2m，HF=$\sqrt{3}$m，MH=2m，根据AM+AH=MH可求得m=3，即可得到AF=6，AC=8，AQ=$\frac{1}{2}$AC=4，OA=$\frac{AQ}{cos3{0}^{0}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．

解答解：（1）连接AO并延长交BC于点D，如图1，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥OA，即∠PAD=90°．
∵PA∥BC，
∴∠PAD=∠ADC=90°，
∴OD⊥BC，
∴根据垂径定理可得BD=CD，
∴AD垂直平分BD，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形；

（2）过点F作FK∥AB交BC于点K，如图2．
∵FK∥AB，
∴∠B=∠FKC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠FKC=∠ACB，
∴FK=CF．
∵AE=CF，
∴AE=FK．
∴PA∥BC，
∴∠AME=∠N，∠MAB=∠B．
∵∠B=∠FKC，
∴∠MAB=∠FKC．
在△AME和△KNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠N}\\{∠MAE=∠FKN}\\{AE=FK}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△KNF，
∴ME=FN；

（3）过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，
过点O作OQ⊥AC于点Q，连接OA、OC，如图3．
由（1）知AB=AC，OA⊥BC，
∴∠OAB=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠OAB．
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴∠AOE=∠COF，
∴∠AOC=∠EOF=120°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，∠OCA=∠OAC=30°．
∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵PA∥BC，∴∠MAE=∠B=60°．
∵EG⊥AM，∠MAE=60°，
∴∠AEG=30°．
设AG=a，则有AE=2a，EG=$\sqrt{A{E}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$a．
∵$\frac{AE}{AM}$=$\frac{2}{3}$，∴AM=3a，MG=2a，
∴ME=$\sqrt{M{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，tan∠AME=$\frac{EG}{ME}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵FN=$\sqrt{7}$，ME=FN，
∴ME=$\sqrt{7}$，
∴$\sqrt{7}$a=$\sqrt{7}$，即a=1，
∴AM=3．
∵∠MAB=∠BAC=60°，
∴∠CAH=60°．
∵FH⊥AM，
∴∠AFH=30°．
设AH=m，则AF=2m，HF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$m．
∵tan∠AME=$\frac{HF}{MH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴MH=2m，
∴m+3=2m，
解得m=3，
∴AF=6．
∵AE=CF=2，
∴AC=8．
∵OQ⊥AC，∠OAC=30°，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AC=4，OA=$\frac{AQ}{cos3{0}^{0}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．
即⊙O的半径长为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．

点评本题主要考查了切线的性质、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强，难度比较大，由条件AE=CF联想到构造全等三角形是解决第（2）、（3）小题的关键．

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