Question

已知，如图，⊙O直径AB延长线上一点P，割线PCD交⊙O于C，D． 弦DF⊥AB于H，CF交AB于E，DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，则CF的大小为（　　）

• A、2

  3

• B、

  2

  +

  6

• C、1+

  3

• D、

  2

  +

  3

Answer 1

考点：解直角三角形,等腰三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：利用垂径定理得出∠AOD=∠DCF，进而证明△DHE是等腰直角三角形，进一步证明△DEO∽△DEC，从而求出答案．

解答：解：∵AB是⊙O的直径，DF⊥AB于D点H，
∴

AD

=

AF

=

DF

，
∴∠1=∠2，
  即：∠AOD=∠DCF
∴AB是弦DF的垂直平分线
∴DE=EF，
∴∠3=∠4，
∵DE⊥CF，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠4=∠5=45°，
∵∠P=15°，
∴∠1=60°，
在Rt△DHO中，
∵∠1=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

，
∵△DHE是等腰直角三角形
∴DE=

6

，
又∵∠1=∠2，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DEO∽△DEC
∴

3

6

=

1

CE

，
∴EC=

2

；
∴CF=CE+EF=CE+DE=

6

+

2

．
故选B．

点评：此题主要考查了垂径定理与圆周角定理和解直角三角形以及等腰三角形的性质与判定等知识，综合性较强得出△DEO∽△DEC是解决问题的关键．