Question

【题目】操作与探究

综合实践课，老师把一个足够大的等腰直角三角尺AMN靠在一个正方形纸片ABCD的一侧，使边AM与AD在同
一直线上（如图1），其中∠AMN=90°，AM=MN．
（1）猜想发现
老师将三角尺AMN绕点A逆时针旋转α．如图2，当0＜α＜45°时，边AM，AN分别与直线BC，CD交于点E，F，连结EF．小明同学探究发现，线段EF，BE，DF满足EF=BE﹣DF；如图3，当45°＜α＜90°时，其它条件不变．
①填空：∠DAF+∠BAE=度；
②猜想：线段EF，BE，DF三者之间的数量关系是： ．
（2）证明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，连结BD，分别交AM，AN于点G，H，如图4连结EH，试证明：EH⊥AN．

Answer 1

【答案】
（1）45,EF=BE+DF
（2）解：证明：如图3，延长CB至点K，使BK=DF，连结AK．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ABK=∠D=90°．

在△ABK和△ADF中， ，

∴△ABK≌△ADF（SAS），

∴AK=AF，∠BAK=∠DAF．

∵∠AMN=90°，AM=MN，

∴∠MAN=∠N=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°．

∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=45°，

∴∠EAF=∠EAK．

在△AEF和△AEK中， ，

∴△AEF≌△AEK（SAS）．

∴EF=EK．

∴EF=BE+DF．

（3）解：证明：如图4，连结AC．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACE=∠ADH=∠CAD=45°．

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠CAD=45°．

∴∠CAE=∠DAH，

∴△ADH∽△ACE．

∴ ．

∴ ，

又∵∠CAD=∠EAF=45°，

∴△ADC∽△AHE．

∴∠ADC=∠AHE=90°．

∴EH⊥AN．

【解析】（1）解：①∠DAF+∠BAE=45°；

所以答案是：45；②线段EF，BE，DF三者之间的数量关系是EF=BE+DF；

所以答案是：EF=BE+DF；

【考点精析】利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．