Question

方程（2006x）²-2005×2007x-1=0的较大根为α，方程x²-2006x-2007=0的较小根为β，求（β+α）²⁰⁰⁵的值．

Answer 1

解：∵（2006x）²-2005×2007x-1=0，
∴（2006x）²-（2006-1）×（2006+1）x-1=0，
∴（2006²x+1）（x-1）=0，
∴α=1，
∴x²-2006x-2007=0，
（x-2007）（x+1）=0，
∴β=-1，
∴（β+α）²⁰⁰⁵=0．
分析：首先利用因式分解法解方程（2006x）²-2005×2007x-1=0求出α，然后利用因式分解法解方程x²-2006x-2007=0求出β，然后代入所求代数式即可求解．
点评：此题主要考查了因式分解法解方程，同时也利用了平方差公式把方程变形，解题的关键是惠把方程进行因式分解从而分别求出α、β解决问题．