Question

5．如图，已知抛物线的顶点在第一象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转30°到OA′，作A′E⊥y轴于点E，连结AE，OA′交于点F．
①试判断点A′是否在该抛物线上，说明理由．
②求△A′EF与△OAF的面积之比．

Answer 1

分析 （1）首先求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+3，由于抛物线经过原点，进而求出a的值即可；
（2）①设点A′坐标为（x，y），先求出直线OA′的解析式，根据OA′=OA=4，求出点A′的坐标，进而判断点A′是否在该抛物线上；
②先求出A′E的长，利用△A′EF∽OAF求出△A′EF与△OAF的面积之比．

解答 解：（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+3，
由于抛物线经过原点，
即4a+3=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$．
故抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
（2）①设点A′坐标为（x，y），
则直线OA′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x①，
根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，
即x²+y²=16②，
由①②可得x=2$\sqrt{3}$，y=2，
即点A′坐标为（2$\sqrt{3}$，2），
把点A′坐标为（2$\sqrt{3}$，2）代入解析式y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
2≠-$\frac{3}{4}$（2$\sqrt{3}$-2）²+3，
即点A′是不在该抛物线上；
②如图，
∵∠A′OA=30°，
∴∠OA′E=30°，
∵OA′=OA=4，
∴A′E=cos30°×4=2$\sqrt{3}$，
∵A′E∥OA，
∴∠A′EF=∠OEF，∠EA′F=∠AOF，
∴△A′EF∽OAF，
∴$\frac{{S}_{△A′EF}}{{S}_{△OAF}}=（\frac{EA′}{OA}）^{2}=\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到求二次函数的解析式、二次函数的性质、旋转的性质以及相似三角形的性质等知识，解答（2）的关键是求出点A′坐标以及求出A′E的长度，此题难度一般．