Question

如图，以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点C为切点，若圆环的面积（大圆面积与小圆面积的差）为4π，求弦AB的长．

Answer 1

分析：首先连接OA，OC，由大圆的弦AB是小圆的切线，点C为切点，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，由勾股定理可得OA²-OC²=AC²，又由圆环的面积为4π，可得π•OA²-π•OC²=π（OA²-OC²）=π•AC²=4π，则可求得AC的长，继而求得弦AB的长．

解答：解：连接OA，OC，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点C为切点，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB，∠OCA=90°，
∴OA²-OC²=AC²，
∵圆环的面积为4π，
∴π•OA²-π•OC²=π（OA²-OC²）=π•AC²=4π，
∴AC=2，
∴AB=2AC=4．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．