Question

10．完成下列各题：
（1）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC∥EF，∠C=∠F．求证：AC=EF．
（2）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=$\frac{1}{3}$，AD=1．求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用等角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=ED，利用AAS证明两三角形全等即可；
（2）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2$\sqrt{2}$，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求得．

解答 证明：（1）∵AD=EB，
∴AD-BD=EB-BD，即AB=ED，
又∵BC∥DF，
∴∠CBD=∠FDB     
∴∠ABC=∠EDF 
在△ABC和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠F}\\{∠ABC=∠EDF}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDF，
∴AC=EF；
（2）在Rt△ABD中，∵$sinB=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD²=AB²-AD²，
∴$BD=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=2\sqrt{2}$．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择最合适的方法证明两三角形全等．