Question

如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.

（1）求点到的距离；

（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.

①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；

②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）如图1，过点作于点

∵为的中点，

∴

在中，∴

∴

即点到的距离为

（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．

∵∴

∵∴，

同理

如图2，过点作于，∵

∴

∴

∴

则

在中，

∴的周长=

②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．

当时，如图3，作于，则

类似①，

∴

∵是等边三角形，∴

此时，

    当时，如图4，这时

此时，

当时，如图5，

则又

∴

因此点与重合，为直角三角形．

∴

此时，

综上所述，当或4或时，为等腰三角形．