Question

如图，PA和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且PA=PB，求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

证明：如图，连接OA、OB、OP．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°；
在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，即OB⊥PB，
又PB和⊙O有公共点B，即点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．
分析：连接OA、OB、OP构建全等三角形△OAP≌△OBP，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得∠OBP=∠OAP=90°，即PB是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定与性质．解答这类题目，常见的辅助线有：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．