分析 首先设P(a,b),由直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A,B两点,可得△AOB为等腰直角三角形,由E和F都在直线y=-x+1上,可求得BE=$\sqrt{2}$a,AF=$\sqrt{2}$b,又易证得△AOF∽△BEO,根据相似三角形的性质即可得k的值.
解答 解:设P(a,b),则OM=a,PM=b,则点E的横坐标为a,F的纵坐标为b,
∵直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴令x=0,求出y=1,即B(0,1);令y=0,求出x=1,即A(1,0),
∵OA=OB=1,且∠AOB=90°,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴∠FAO=∠EBO=45°,
又∵E和F都在直线y=-x+1上,
∴点E(a,1-a),点F(1-b,b),
即OM=a,EM=1-a,ON=b,NF=1-b,
∵BE=$\sqrt{{a}^{2}+(1-1+a)^{2}}$=$\sqrt{2}$a,AF=$\sqrt{(1-1-b)^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b,
∵∠EOF=45°,
∴△AOF∽△BEO,
∴AF:BO=AO:BE,
∴AF•BE=BO•AO,
即$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=1×1,
解得ab=$\frac{1}{2}$,
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x>0)中k的值为$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识点有:等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及点与函数的关系.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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