Question

18．如图，已知放置于平面直角坐标系中的三角板AOB，∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，将△AOB绕O点顺时针旋转30°得到△A₁OB₁，将△A₁OB₁绕O点顺时针旋转30°得到△A₂OB₂，将△A₂OB₂绕O点顺时针旋转30°得到△A₃OB₃，依此类推，则B₂₀₁₃的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 易得△AOB绕O点顺时针旋转30°，旋转12次后回到原的位置，由于2013=167×12+9，则可判断△A₂₀₁₃OB₂₀₁₃，的位置与△A₉OB₉一样，而A₉O在y轴上，如图，作B₉H⊥y轴于H，先在Rt△AOB中计算出OB=2AB=2，再利用旋转的性质得到∠A₉OB₉=30°，OB9=OB=$\sqrt{3}$，接着在Rt△OB₉H中利用含30度的直角三角形三边的关系得到B₉H=$\frac{1}{2}$OB₉=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$B₉H=$\frac{3}{2}$，所以B₉（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），从而得到点B₂₀₁₃的坐标．

解答 解：∵△AOB绕O点每次顺时针旋转30°，
∴△AOB绕O点顺时针旋转30°，旋转12次后回到原的位置，
而2013=167×12+9，
∴△A₂₀₁₃OB₂₀₁₃，的位置与△A₉OB₉一样，
而A₉O在y轴上，如图，作B₉H⊥y轴于H，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=30°，∠B=90°，
∴OB=2AB=2，
∵△AOB绕O点顺时针旋转得到△A₉OB₉，
∴∠A₉OB₉=30°，OB9=OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△OB₉H中，∵∠HOB₉=30°，
∴B₉H=$\frac{1}{2}$OB₉=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OH=$\sqrt{3}$B₉H=$\frac{3}{2}$，
∴B₉（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴B₂₀₁₃（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
故答案为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了规律型问题的解决方法．