Question

学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足

 

，或

 

，两个直角三角形相似”．
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足

 

的两个直角三角形相似”．
请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，

 

．
试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Answer 1

分析：列举法证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；
可设AB、A′B′，AC、A′C′的比为k，进而由勾股定理求出BC：B′C′的值，此时可得两三角形的三边都对应成比例，由此来得出两三角形相似的结论．

解答：解：（1）一个锐角对应相等（1分）
两直角边对应成比例（2分）

（2）斜边和一条直角边对应成比例（3分）
在AB上截取AC″=AC′，过C″作C″B″∥BC交AB于B″，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

（4分）
解：设

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′；
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

BC

B′C′

=

AB2-AC2 A′B′2-A′C′2

=

k2A′B′2-k2A′C′2 A′B′2-A′C′2

=k
∴

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

BC

B′C′

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．（8分）

点评：此题考查的是相似三角形的判定以及全等三角形的判定和性质．能够正确的理解材料的含义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．