Question

如图在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，现将一块直径为2的半圆形纸片放置在矩形ABCD中，使其直径与AD重合，若将半圆上点D固定，再把半圆往矩形外旋至A′D处，半圆弧A^′D与AD交于点P，设∠ADA′=α．
（1）若AP=2-

2

，求α的度数；
（2）当∠α=30°时，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求α的度数，连接A′P根据圆周角定理，可知∠A′PD=90°，在直角三角形A′PD中，已知了AP的长又有AD的长，那么就求出了PD的长，又有半圆半径的长，那么可用余弦函数求出α的度数；
（2）观察图可看出阴影部分的面积=半圆的面积-弓形的面积，已知了半圆的半径，那么可求出半圆的面积，而弓形的面积=扇形OPD的面积-三角形OPD的面积，有∠ADA′的度数可根据等边对顶角和三角形的内角和求出∠POD的度数，也就求出了扇形的面积，三角形POD中，求出了PD的长，高可用半径的长和正弦函数求出，因此就能求出三角形POD的面积了，也就能求出阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接PA′，
∵AD是直径，
∴∠A′PD=90°．
∵AD=A′D=2，且AP=2-

2

，
∴PD=

2

，
∴cosα=

DP

DA′

=

2

2

，
∴∠а=45°；

（2）连接OP．
S_阴影部分=S_半圆-S_弓形PD=

1

2

π-（S_扇形POD-S_△POD）
=

1

2

π-（

120π

360

-

1

2

×

3

×

1

2

）
=

1

6

π+

3

4

．

点评：本题主要考查了扇形的面积公式和解直角三角形的应用．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．