分析 （1）过点D作DM⊥x轴于M，根据点D的坐标求出DM、OM，再根据∠BAD的正切值求出AM，然后求出AO，从而得到点A的坐标，再代入抛物线表达式求出a，从而得解；
（2）根据抛物线解析式求出顶点C的坐标，再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD，然后利用勾股定理逆定理证明即可；
（3）利用待定系数法求出直线AD的解析式，再表示出PE，然后根据二次函数的最值问题求解即可；
（4）设点F的坐标为（x，0），然后分①AD是平行四边形的边且FQ在x轴下方时，表示出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式求解即可；FQ在x轴上方时，表示出点Q的坐标，再代入抛物线解析式求解；②AD是平行四边形对角线时，根据平行四边形对边平行可得DQ∥x轴，然后根据点D的纵坐标求出点Q的坐标，再根据AF=DQ求出点F的坐标即可．
解答 （1）解：如图，过点D作DM⊥x轴于M，
∵D（2，-3），
∴DM=3，OM=2，
∵tan∠BAD=1，
∴AM=DM=3，
∴AO=AM-OM=3-2=1，
∴点A的坐标为（-1，0），
将点A的坐标代入抛物线得，a+2a-3=0，
解得a=1，
所以，y=x2-2x-3；
（2）证明：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点C（1，-4），
由勾股定理得，AD2=32+32=18，
CD2=（2-1）2+（-3+4）2=2，
AC2=（1+1）2+42=20，
∵AD2+CD2=AC2=20，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴AD⊥CD；
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、D的坐标代入得，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以，直线AD的解析式为y=-x-1，
所以，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∵P是线段AD上的动点，
∴-1≤x≤2，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，线段PE长度的最大值是$\frac{9}{4}$；
（4）解：设点F的坐标为（x，0），
①AD是平行四边形的边且FQ在x轴下方时，点Q的坐标为（x+3，-3），
代入抛物线得，（x+3）2-2（x+3）-3=-3，
解得x1=-3，x2=-1（舍去），
所以，F（-3，0）；
FQ在x轴上方时，点Q的坐标为（x-3，3），
代入抛物线得，（x-3）2-2（x-3）-3=3，
整理得，x2-8x+9=0，
解得，x=4±$\sqrt{7}$，
所以，F（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）；
②AD是平行四边形对角线时，∵A、F都在x轴上，
∴DQ∥x轴，
∴点Q的纵坐标为-3，
∴x2-2x-3=-3，
解得x1=2，x2=0，
∴DQ=2，
∴AF=2，
∵AO=1，
∴OF=2-1=1，
∴F（1，0），
综上所述，x轴上存在点F（-3，0）或（4+$\sqrt{7}$，0）或（4-$\sqrt{7}$，0）或（1，0），使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形．
点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数的定义，勾股定理与勾股定理逆定理，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，难点在于（4）根据平行四边形的性质分情况讨论．
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| 乙 | 30 | 60 |
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如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC边的中点，求证：BE∥DF．