Question

10．反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象如图所示，点A的坐标是（1，2），点B（n，0）是x轴上一个动点，连结AB，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′．
（1）当n=2时，则点A′的坐标是（4，1）；
（2）当点B（n，0）在运动的过程中，点A′恰好落在函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）或y=-$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，则此时n的值是0、-1或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．
（1）根据旋转的性质可得出AB=A′B，再结合角的计算可得出∠EAB=∠A′BF，由此即可得出△AEB≌△A′BF（AAS），进而即可得出点A′的坐标；
（2）结合（1）找出点A′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元二次方程，解方程即可得出n的值，再结合点A′的横坐标大于0，即可得出结论．

解答 解：过A作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F，
（1）∵n=2，
∴点B（2，0），
∵点A的坐标是（1，2），
∴BE=1，AE=2．
由旋转的性质可得出AB=A′B．
∵∠ABA′=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠A′BF=90°，
∴∠EAB=∠A′BF，
在△ABE与△A′BF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠A′FB}\\{∠EAB=∠A′BF}\\{AB=A′B}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△A′BF，
∴A′F=BE=1，BF=AE=2，
∴点A′的坐标是（4，1）；
故答案为（4，1）
（2）结合（1）可知点A′的坐标为（n+2，n-1），
∵点A′恰好落在函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）或y=-$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴（n+2）（n-1）=2或（n+2）（n-1）=-2，且n+2＞0，
解得：n₁=0，n₂=-1，n₃=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，n₄=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（舍去）．
故答案为：0、-1或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）证出△AEB≌△A′BF；（2）找出关于n的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过旋转的性质找出点A′的坐标是关键．