如图①.在矩形ABCD中.AB=8.AD=4.点P从点A出发.沿A-D-C-D运动.沿A-D-C运动时的速度为每秒2个单位长度.沿C-D运动时的速度为每秒4个单位长度．点Q从点A出发沿AB方向运动.速度为每秒1个单位长度．P.Q两点同时出发.当点Q到达点B时.P.Q两点同时停止运动.设点Q的运动时间为t(秒).连结PQ．(1)用含t的代数式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．如图①，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点P从点A出发，沿A-D-C-D运动，沿A-D-C运动时的速度为每秒2个单位长度，沿C-D运动时的速度为每秒4个单位长度．点Q从点A出发沿AB方向运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒），连结PQ．
（1）用含t的代数式表示PD的长．
（2）求AC平分PQ时t的值．
（3）连结CP、CQ，如图②，记△CPQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．
（4）将△APQ沿PQ折叠，点A落在平面内的点A′处，如图③，直接写出QA′与△ACD的一条边平行时t的值

分析（1）分点P分别在AD、CD、DC上时写出PD的长；
（2）根据（1）问分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤2时，点P在AD上，如图1，根据平行相似可知：$\frac{4t}{t}=\frac{PH}{HQ}$=4，即此种情况AC不平分PQ；
②当2＜t≤6时，点P在DC上，如图2，当AC平分PQ时，证明△CPG≌△AQG，根据AQ=PC列式可得结论；
③当6＜t≤8时，点P在DC上，如图2，根据PC=AQ列式得结论；
（3）分三种情况代入面积公式进行计算即可；
（4）分四种情形①如图1中，当2＜t≤6时，QA′∥AC时，②如图2中，当2＜t≤6时，QA′∥DC时，③如图中，6＜t≤8时，QA′∥DC时，④如图4中，6＜t≤8时，QA′∥AC时，分别列出方程求解即可．

解答解：（1）当0≤t≤2时，AP=2t，则PD=4-2t；
当2＜t≤6时，PD=2t-4；
当6＜t≤8时，PC=4（t-6）=4t-24，则PD=8-PC=8-4t+24=32-4t；
（2）①当0≤t≤2时，点P在AD上，如图1，

过P作PG∥AB，交AC于G，PQ交AC于H，
∴△PHG∽△QHA，
∴$\frac{PG}{AQ}=\frac{PH}{HQ}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴PG∥DC，
∴△APG∽△ADC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{PG}{DC}$，
∴$\frac{2t}{4}=\frac{PG}{8}$，
∴PG=4t，
∴$\frac{4t}{t}=\frac{PH}{HQ}$=4，
即此种情况AC不平分PQ．
②当2＜t≤6时，点P在DC上，如图2，

当AC平分PQ时，则PG=GQ，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，∠CPQ=∠PQA，
∴△CPG≌△AQG，
∴AQ=PC，
∴t=4+8-2t，
3t=12，
t=4，
③当6＜t≤8时，点P在DC上，如图2，
当AC平分PQ时，则PC=AQ，
∴t=4（t-6），
24=3t，
t=8，
综上所述，AC平分PQ时t的值为4秒或8秒；
（3）①当0≤t≤2时，点P在AD上，如图3，

S=S_△PQC=S_矩形ABCD-S_△APQ-S_△PDC-S_△BQC，
=4×8-$\frac{1}{2}$AP•AQ-$\frac{1}{2}$PD•DC-$\frac{1}{2}$BQ•BC，
=32-$\frac{1}{2}$•2t•t-$\frac{1}{2}$×8×（4-2t）-$\frac{1}{2}$×4×（8-t），
=-t²+10t；
②当2＜t≤6时，点P在DC上，如图4，

则PC=4+8-2t=12-2t，
S=S_△PQC=$\frac{1}{2}$PC•BC=$\frac{1}{2}$（12-2t）×4=-4t+24，
当6＜t≤8时，点P在CD上，如图5，

则PC=4（t-6），
∴S=S_△PQC=$\frac{1}{2}$PC•BC=$\frac{1}{2}$×4（t-6）×4=8t-48；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+10t（0≤t≤2）}\\{-4t+24（2＜t≤6）}\\{8t-48（6＜t≤8）}\end{array}\right.$；

（4）①如图6中，当2＜t≤6时，QA′∥AC时，易知∠AQE=∠PQA′=∠AEQ=∠CPE，

∴CP=CE，AE=AQ，
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4 $\sqrt{5}$，
∴AE+CE=4 $\sqrt{5}$，
∴t+12-2t=4 $\sqrt{5}$，
∴t=12-4 $\sqrt{5}$．
②如图7中，当2＜t≤6时，QA′∥DC时，

由DP=AQ，得2t-4=t，解得t=4．
③如图8中，6＜t≤8时，QA′∥DC时，

由DP=AQ得t=8-4（t-6），解得t=$\frac{32}{5}$．
④如图4中，6＜t≤8时，QA′∥AC时，

由AE=AQ，CP=CE，AE+CE=4 $\sqrt{5}$得t+4（t-6）=4 $\sqrt{5}$，解得t=$\frac{24+4\sqrt{5}}{5}$，
综上所述，当QA′与△ACD的边DC或AC平行时，t的值为12-4 $\sqrt{5}$或4或 $\frac{32}{5}$或$\frac{24+4\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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