Question

7．如图，已知点A是一次函数y=$\frac{1}{2}$x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是3．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，设AB=2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE=AE=CE=a，设A（x，$\frac{1}{2}$x），则B（x，$\frac{k}{x}$），C（x+a，$\frac{k}{x+a}$），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程组可得结论．

解答 解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=AE=CE，
设AB=2a，则BE=AE=CE=a，
设A（x，$\frac{1}{2}$x），则B（x，$\frac{k}{x}$），C（x+a，$\frac{k}{x+a}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{△OAB}=\frac{1}{2}AB•DE=\frac{1}{2}•2a•x=6①}\\{\frac{k}{x}=2a+\frac{1}{2}x②}\\{\frac{k}{a+x}=a+\frac{1}{2}x③}\\{\;}\end{array}\right.$，
由①得：ax=6，
由②得：2k=4ax+x²，
由③得：2k=2a（a+x）+x（a+x），
2a²+2ax+ax+x²=4ax+x²，
2a²=ax=6，
a²=3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$•2a•a=a²=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．