Question

【题目】注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

如图，将一个矩形纸片，放置在平面直角坐标系中，，，，是边上一点，将沿直线折叠，得到．

（Ⅰ）当平分时，求的度数和点的坐标；

（Ⅱ）连接，当时，求的面积；

（Ⅲ）当射线交线段于点时，求的最大值．（直接写出答案）

在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：

师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．

小明：我是这样想的，延长与轴交于点，于是出现了．

小雨：我和你想的不一样，我过点作轴的平行线，出现了两个．

Answer 1

【答案】（I），；（II）；（III）的最大值为．

【解析】

（Ⅰ）由折叠的性质得：△ANM≌△ADM，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM的长，写出M的坐标；

（Ⅱ）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得关于x的方程：（x+1）2=32+x2，求出x，得出AB是AQ的，即可得出△NAQ和△NAB的关系，得出结论；

（III）如图3，过A作AH⊥BF于H，证明△ABH∽△BFC，得，Rt△AHN中，AH≤AN=3，AB=4，可知：当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，求此时DF的长即可．

（I）如图

，，，

，，

由折叠得：，

，

平分，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，；

（II）延长交的延长线于点，

四边形是矩形，

，

，

由折叠得：，

，，，

，

，

设，则，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，，

；

（III）如图3，过作于，

四边形是矩形，

，

，

，

，

中，，，

当点、重合（即）时，最大，最小，最小，最大，此时点、重合，、、三点共线，如图4所示，

由折叠得：，

，

，

在和中，

，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值为．