Question

如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交点为O．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB，
∵△BEC是等边三角形，
∴CE=BE，
又AE=DE，
∴△AEC≌△DEB．

（2）连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC=BD．
∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥DC，AB=

AC2-BC2

=

BD2-BC2

=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵BE=CE，
∴OE所在直线垂直平分线段BC，
∴BF=FC，∠EFB=90°．
∴OF=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠EBC=60°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，
∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=AB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，
∴BF=BE•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

，
EF=BE•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴OE=EF-OF=

3

2

-1=

1

2

，
∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，
∴△AOE≌△DOE．∴S_△AOE=S_△DOE
∴S_阴影=2S_△AOE=2×

1

2

•EO•BF=2×

1

2

×

1

2

×

3

2

=

3

4

（cm²）．