Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．

（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；

（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

Answer 1

       解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，

∴，即

∴

S_△APQ=

=

=

∴当时，△APQ的面积最大，最大值是；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP

∴AQ=AC

又Rt△AQP≌Rt△BQP

∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²﹣AC²

∴BC=AC

∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．