Question

9．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，CB=5，D是BC边上一点，且DB=2，点E是AC边上的一个动点，过点E作EF∥CB交AD于点F．
（1）当AE=$\frac{8}{5}$时，联结DE，求证：△DEF∽△ADB；
（2）过点F作FG垂直EF交AB于点G，设AE=x，△AFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）点P在线段CD上，且EF=PF，在点E移动的过程中，当△FPD是直角三角形时，求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AD的长，再由EF∥CB得出△AEF∽△ACD，由相似三角形的性质求出EF及AF的长，进而得出DF的长，由此可得出结论；
（2）先根据EF∥BC可知EF⊥AC，再由FG⊥EF可知FG⊥BC，故CE=FG，由AE=x可知CE=FG=4-x，再由相似三角形的性质用x表示出EF的长，由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分∠FPD=90°与∠PFD=90°两种情况进行讨论．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，CB=5，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∵DB=2，
∴CD=5-2=3，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{CD}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵EF∥CB，AE=$\frac{8}{5}$，
∴△AEF∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{EF}{CD}$，即$\frac{\frac{8}{5}}{4}$=$\frac{EF}{3}$=$\frac{AF}{5}$，解得EF=$\frac{6}{5}$，AF=2，
∴DF=5-2=3，CE=4-$\frac{8}{5}$=$\frac{12}{5}$．
∴$\frac{\frac{6}{5}}{3}$=$\frac{2}{5}$，即$\frac{EF}{DF}$=$\frac{BD}{AD}$．
∵EF∥CB，
∴∠EFD=∠BDF，
∴△DEF∽△ADB；
（2）解：∵EF∥BC，
∴EF⊥AC．
∵FG⊥EF，
∴FG⊥BC，
∴CE=FG．
∵AE=x，
∴CE=FG=4-x．
∵△AEF∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EF}{CD}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{EF}{3}$，解得EF=$\frac{3x}{4}$，
∴S_△AFG=$\frac{1}{2}$FG•EF，即y=$\frac{1}{2}$（4-x）•$\frac{3x}{4}$=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜4）；

（3）如图2，当∠FPD=90°时，设AE=x，则CE=4-x，
∵EF=PF，EF⊥AC，FP⊥BC，
∴四边形EFPC是正方形．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EF}{CD}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{EF}{3}$，解得EF=$\frac{3}{4}$x，
∵CE=EF，
∴4-x=$\frac{3}{4}$x，解得x=$\frac{16}{7}$；
如图3，当∠PFD=90°时，
∵同理可得△AEF∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AF}{AD}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{EF}{3}$=$\frac{AF}{5}$，
∴EF=PF=$\frac{3}{4}$x，AF=$\frac{5}{4}$x，
∴DF=5-$\frac{5}{4}$x．
∴∠PFD=∠C=90°，∠ADC=∠PDF，
∴△PDF∽△ADC，即$\frac{DF}{CD}$=$\frac{PF}{AC}$，即$\frac{5-\frac{5}{4}x}{3}$=$\frac{\frac{3}{4}x}{4}$，解得x=$\frac{80}{29}$．
综上所示，AE的长度为$\frac{16}{7}$或$\frac{80}{29}$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．